Comment gagner au keno, en jouant seulement 2 numéros sur une grille?

Au Keno, en France, le tirage se compose de 20 numéros parmi 70. La question est donc de savoir comment sélectionner 2 numéros parmi les 70 proposés, et surtout, parmi les 20 qui vont sortir. Question simple, mais pas simple d’y répondre malgré tout. Voici un peu de mathématiques. D’après le site de la fdj, une combinaison à 2 numéros à 1 chance sur 13 de sortir. Mais est-ce vrai? D’où viennent ces chiffres? Voici quelques explications :

Vérification :

Avec 70 numéros, il y a 70*69/2 = 2415 combinaisons à 2 numéros différentes. Sur un tirage comprenant 20 boules, il y a 20*19/2= 190 combinaisons différentes qui sortent à chaque tirage.  Ainsi on peut déduire la chance d’avoir la bonne combinaison, avec la fraction 190/2415 qui est égale à 1/(2415/190), et donc aussi égale à 1/12.7.  C’est plutôt une bonne nouvelle, car, la probabilité mathématique est légèrement supérieure à celle annoncée par la fdj, à savoir 1/12.7 au lieu de 1/13.

Maintenant que ce point est clair, et qu’on sait qu’une combinaison à 2 numéros à 1 chance sur 13 de sortir lors d’un tirage,  il est facile de penser qu’il suffit de jouer la même combinaison, de façon consécutive, pendant 13 tirages, pour gagner. Terrible Erreur!! Non, ce raisonnement courant est malheureusement faux, même s’il semble logique…

Un peu de mathématiques :

Encore un peu de mathématiques. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Si on suit la logique précédente, il suffit de jouer par exemple 20 fois la même combinaison, consécutivement, pour obtenir 20/13 chance de gagner. Or 20/13 =  1.53 > 1. C’est la preuve que ce raisonnement est faux. Alors comment bien calculer?

Pour calculer la chance de gain sur plusieurs tirages consécutifs, il faut raisonner sur les chances de perdre, et les soustraire à 1. Autrement dit :

“La probabilité de gagner  = 1 –  probabilité de perdre”

Dans notre cas, à chaque tirage, on a 1 chance de gagner sur 13. Donc 12 chances de perdre sur 13. 

Cas pratique :

Si je veux jouer sur une C2 (combinaison à 2 numéros), pendant 5 tirages consécutifs par exemple, les chances de gagner se calculent comme ceci : 

“chance de gagner = 1 – (chance de perdre)exp(5) ”  ce qui se traduit par : “chance de gagner = 1 – (12/13)^5”. Qui est aussi égale à “1 – 248832/371293” , aussi égale à “122461/371293”. Ce qui donne environ 0.33, soit 1 chance sur 3! Plutôt bon à savoir n’est-ce pas?

Cadeau Bonus :

Voici un outil pour calculer la probabilité de gain en fonction du nombre de tirage consécutif que vous voulez jouer.

Vous pouvez aussi augmenter vos chances de gains en prenant un forfait.

Et vous, qu’en pensez vous? N’hésitez pas à commenter, partager, et à poser vos questions en commentaires ci-dessous.